5302 金字塔 0x50「动态规划」例题
描述
虽然探索金字塔是极其老套的剧情,但是有一队探险家还是到了某金字塔脚下。经过多年的研究,科学家对这座金字塔的内部结构已经有所了解。首先,金字塔由若干房间组成,房间之间连有通道。如果把房间看作节点,通道看作边的话,整个金字塔呈现一个有根树结构,节点的子树之间有序,金字塔有唯一的一个入口通向树根。并且,每个房间的墙壁都涂有若干种颜色的一种。
探险队员打算进一步了解金字塔的结构,为此,他们使用了一种特殊设计的机器人。这种机器人会从入口进入金字塔,之后对金字塔进行深度优先遍历。机器人每进入一个房间(无论是第一次进入还是返回),都会记录这个房间的颜色。最后,机器人会从入口退出金字塔。显然,机器人会访问每个房间至少一次,并且穿越每条通道恰好两次(两个方向各一次), 然后,机器人会得到一个颜色序列。但是,探险队员发现这个颜色序列并不能唯一确定金字塔的结构。现在他们想请你帮助他们计算,对于一个给定的颜色序列,有多少种可能的结构会得到这个序列。因为结果可能会非常大,你只需要输出答案对10^9 取模之后的值。输入格式
输入文件包含一行,一个字符串S,长度不超过300,表示机器人得到的颜色序列。
输出格式
输出一个整数表示答案。
样例输入
ABABABA
样例输出
5
样例解释
例如序列“ABABABA”对应5种金字塔结构,最底部是树根。我们认为子树之间是有序的,所以方案3和4是两种不同的方案。如书中图所示。
来源
原创
题意:
给定的字符串是一棵树dfs遍历的顺序结果。求的是有多少种树可以得到这种结果。
思路:
子串S[l,r]对应一棵子树。S[l+1]和S[r-1]就是进入和离开时产生的。[l, r]区间对应一个子问题。
把子串S[l,r]分成两部分,每一部分由若干棵子树组成。为了计数不重不漏,只考虑S[l,r]的第一棵子树是由哪一段构成的。枚举划分点k,S[l+1,k-1]构成[l, r]的第一棵子树。如果k不相同,那么子串S[l+1,k-1]代表的子树的大小也不相同,就不可能产生重复计算的结构。
对于方案技术类的动态规划问题,通常一个状态的各个决策之间满足“加法原理”, 而每个决策划分的几个子状态之间满足“乘法原理”。在设计状态转移方程的决策方式与划分方法时,一个状态的所有决策之间必须具有互斥性,才能保证不会出现重复问题。
1 #include2 #include 3 #include 4 #include 5 #include 6 #include 7 #include